第二章 n维向量
向量描述了空间.
2.1 向量的线性相关性
线性组合: ∑i=1nkiαi\displaystyle\sum_{i=1}^nk_i\alpha_ii=1∑nkiαi , 其中k是标量, α\alphaα 是向量.
线性表示: η=∑i=1nkiαi ⟺ η\eta=\displaystyle\sum_{i=1}^nk_i\alpha_i\iff\etaη=i=1∑nkiαi⟺η 可由 α1,…,αn\alpha_1,\ldots,\alpha_nα1,…,αn 线性表示.
若向量组B中每个元素都能由A中向量线性表示, 则B能由A线性表示. 满足:
B=ACB=ACB=AC
r(B)≤r(A)r(B)\leq r(A)r(B)≤r(A)
若向量组A与B能互相线性表示, 则两者等价. (这里指的是行等价或列等价, 而非矩阵整体等价)
设 A=(α1,…,αs)A=(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)A=(α1,…,αs) , 则:
线性相关: r(A) 线性无关: r(A)=sr(A)=sr(A)=s 等价刻画: ∑i=1nkiαi=0\displaystyle\sum_{i=1}^nk_i\alpha_i=0i=1∑nkiαi=0, 若存在不全为0的k, 则 α1,…,αn\alpha_1,\ldots,\alpha_nα1,…,αn 线性相关. 反之, 若k全为0, 则 α1,…,αn\alpha_1,\ldots,\alpha_nα1,…,αn 线性无关. (在证明时很有用) 相关结论 α1,…,αs\alpha_1,\ldots,\alpha_sα1,…,αs 与 α1T,…,αsT\alpha_1^T,\ldots,\alpha_s^Tα1T,…,αsT 的线性相关性相同. 含0向量的向量组线性相关. 只含1个向量的向量组线性相关. 向量个数>维数时, 向量组必线性相关. α1,…,αs\alpha_1,\ldots,\alpha_sα1,…,αs 线性相关 ⇒α1,…,αs,…,αs+t\Rightarrow\alpha_1,\ldots,\alpha_s,\ldots,\alpha_{s+t}⇒α1,…,αs,…,αs+t 线性相关. α1,…,αs\alpha_1,\ldots,\alpha_sα1,…,αs 线性无关, 且 α1,…,αs,η\alpha_1,\ldots,\alpha_s,\etaα1,…,αs,η 线性相关 ⇒η\Rightarrow\eta⇒η 可由 α1,…,αs\alpha_1,\ldots,\alpha_sα1,…,αs 线性表示. (α1β1),…,(αsβs)\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \beta_1 \end{pmatrix},\ldots, \begin{pmatrix} \alpha_s \\ \beta_s \end{pmatrix}(α1β1),…,(αsβs) 线性相关 ⇒α1,…,αs\Rightarrow \alpha_1,\ldots,\alpha_s⇒α1,…,αs 与 β1,…,βs\beta_1,\ldots,\beta_sβ1,…,βs 分别线性相关. 极大线性无关组 α1,…,αs\alpha_1,\ldots,\alpha_sα1,…,αs 中的 部分组 αi1,…,αis\alpha_{i1},\ldots,\alpha_{is}αi1,…,αis 满足: 该部分组线性无关. 整个向量组可由该部分组线性表示. 注: 只有当 (αi1,…,αis)∈(α1,…,αs)(\alpha_{i1},\ldots,\alpha_{is})\in(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)(αi1,…,αis)∈(α1,…,αs) , 才可说其是极大无关组. 性质: 若向量组的秩为r, 则其极大无关组中有r个向量. 向量组中任意r个线性无关组构成极大无关组. 任意2个极大无关组等价. 求法: 矩阵化为行阶梯型, 从而找出非零元素个数不同的列向量. 化为行最简型后,可以看出其他向量如何被线性表示. 线性相关性的几何意义: 若向量组中每个向量均为空间添加了维数, 则其线性无关, 反之为线性相关. 2.2 向量空间 子空间: 若空间向量集合 V⊂RnV\sub R^nV⊂Rn , 且其对向量的加法与数乘封闭, 则V是 RnR^nRn 的子空间. 生成空间: L(α1,…,αs)={∑i=1skiαi ∣ ki∈R}L(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)=\{\displaystyle\sum_{i=1}^sk_i\alpha_i\ |\ k_i\in R \}L(α1,…,αs)={i=1∑skiαi ∣ ki∈R} , 其中 α1,…,αs∈Rn\alpha_1,\ldots,\alpha_s\in R^nα1,…,αs∈Rn 为生成元. 列空间: A=(α1,…,αs)A=(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)A=(α1,…,αs) , 则A的列空间即为 L(α1,…,αs)L(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)L(α1,…,αs) . 基: 线性空间中的向量组 α1,…,αr\alpha_1,\ldots,\alpha_rα1,…,αr 满足: 该向量组线性无关. 任意V中向量可被其线性表示. 注: 与极大无关组的区别在于: 不必是生成元的子集. 维数: 基的个数, 同时也是生成元构成矩阵的秩. 记作 dimV=r\dim V=rdimV=r . 有关基的性质 基的求法 利用消元法, 例如: 平面 3x+2y−z=13x+2y-z=13x+2y−z=1 . 在其上的向量必然满足 z=3x+2y−1z=3x+2y-1z=3x+2y−1 , 由此便消去了z, 任意向量可表示为 (x,y,z)T=(x,y,3x+2y−1)T=(1,0,3)Tx+(0,1,2)Ty+(0,0,−1)T(x,y,z)^T=(x,y,3x+2y-1)^T=(1,0,3)^Tx+(0,1,2)^Ty+(0,0,-1)^T(x,y,z)T=(x,y,3x+2y−1)T=(1,0,3)Tx+(0,1,2)Ty+(0,0,−1)T . 基与坐标 若 α1,…,αr\alpha_1,\ldots,\alpha_rα1,…,αr 为V中的一组基, 则其中任意的向量可表示为 η=∑i=1rkiαi\eta=\displaystyle\sum_{i=1}^rk_i\alpha_iη=i=1∑rkiαi , (k1,…,kr)T(k_1,\ldots,k_r)^T(k1,…,kr)T 为其坐标. (具有唯一性) 若 α1,…,αr\alpha_1,\ldots,\alpha_rα1,…,αr 与 β1,…,βs\beta_1,\ldots,\beta_sβ1,…,βs 为空间中两组基, 向量的坐标表示分别为 x, y\mathbf{x,\ y}x, y. 矩阵P表示: 在x基下y的基向量的坐标, 则有 x=Pyx=Pyx=Py. 这时, 称P为从x基到y基的过渡矩阵. 事实上, 这很容易搞反. 本人用物理概念来辅助理解, 仅供参考: x: 绝对位置 P: 牵连位移(即空间的变换) y: 相对位置 内积 内积就是向量点乘. (注: 后文中, 为了简洁起见,常常用点乘符号表示内积) <α,β>=αTβ=βTα=α⃗⋅β⃗<\alpha,\beta>=\alpha^T\beta=\beta^T\alpha=\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta}<α,β>=αTβ=βTα=α⋅β 几何意义: 可以将 αT\alpha^TαT 看作由n维到1维的线性变换, 由此变换, 一个n维向量被压缩成了一个数. 内积的性质 对称性(交换律) 线性性(相加与数乘) Cauchy-Schwartz不等式: α⃗⋅β⃗≤∣α⃗∣⋅∣β⃗∣\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta}\leq|\vec{\alpha}|\cdot|\vec{\beta}|α⋅β≤∣α∣⋅∣β∣ 长度模: ∣∣α∣∣=<α,α>=∑i=1nai2||\alpha||=\sqrt{<\alpha,\alpha>}=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^na_i^2}∣∣α∣∣=<α,α>=i=1∑nai2 长度模的性质 正定性(恒大于等于0) 齐次性: ∣∣kα∣∣=k∣∣α∣∣||k\alpha||=k||\alpha||∣∣kα∣∣=k∣∣α∣∣ 三角形不等式: ∣∣α+β∣∣≤∣∣α∣∣+∣∣β∣∣||\alpha+\beta||\leq||\alpha||+||\beta||∣∣α+β∣∣≤∣∣α∣∣+∣∣β∣∣ 正交 相关概念 向量正交: 夹角 φ=π2\varphi=\frac{\pi}{2}φ=2π , 即 α⃗⋅β⃗=0\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta}=0α⋅β=0 . 正交向量组: α1,…,αs\alpha_1,\ldots,\alpha_sα1,…,αs 两两正交. 标准正交向量组: α1,…,αs\alpha_1,\ldots,\alpha_sα1,…,αs 两两正交且 ∣αi∣=1|\alpha_i|=1∣αi∣=1 . 标准正交基: α1,…,αs\alpha_1,\ldots,\alpha_sα1,…,αs 为标准正交向量组且构成空间的一组基. 正交矩阵: Rn\mathbb{R}^nRn 的一组标准正交基所构成的方阵. 相关性质 正交向量组线性无关. 若 α1,…,αs\alpha_1,\ldots,\alpha_sα1,…,αs 为正交向量组, η=∑i=1nkiαi\eta=\displaystyle\sum_{i=1}^nk_i\alpha_iη=i=1∑nkiαi , 则 ki=η⃗⋅αi⃗∣∣αi∣∣2k_i=\frac{\vec{\eta}\cdot\vec{\alpha_i}}{||\alpha_i||^2}ki=∣∣αi∣∣2η⋅αi . 特别地, 若 α1,…,αs\alpha_1,\ldots,\alpha_sα1,…,αs 为标准正交向量组, 则 ki=η⃗⋅αi⃗k_i=\vec{\eta}\cdot\vec{\alpha_i}ki=η⋅αi . (即:k构成 η\etaη 的坐标) 若 α1,…,αs\alpha_1,\ldots,\alpha_sα1,…,αs 线性无关, 必然存在等价的正交向量组 β1,…,βs\beta_1,\ldots,\beta_sβ1,…,βs . 构造出 βi\beta_iβi 的方法: Schimidt正交化 β1=α1β2=α2−α2⃗⋅β1⃗β12β1β3=α3−α3⃗⋅β2⃗β22β2−α3⃗⋅β1⃗β12β1…\begin{aligned} \beta_1&=\alpha_1 \\ \beta_2&=\alpha_2-\frac{\vec{\alpha_2}\cdot\vec{\beta_1}}{\beta_1^2}\beta_1 \\ \beta_3&=\alpha_3-\frac{\vec{\alpha_3}\cdot\vec{\beta_2}}{\beta_2^2}\beta_2-\frac{\vec{\alpha_3}\cdot\vec{\beta_1}}{\beta_1^2}\beta_1 \\ &\ldots \end{aligned}β1β2β3=α1=α2−β12α2⋅β1β1=α3−β22α3⋅β2β2−β12α3⋅β1β1… 事实上, 这种正交化方法的几何意义类似于对空间中直线求法向量. QTQ=E, Q−1=QTQ^TQ=E,\ Q^{-1}=Q^TQTQ=E, Q−1=QT ∣Q∣2=1|Q|^2=1∣Q∣2=1 A, B 分别为正交阵 ⇒AB\Rightarrow AB⇒AB 为正交阵.